牌桌上最容易被误当成「感觉」的一件事，其实是算术：还剩多少张牌在外面、其中几张是你等的那几张、你还能摸几回。赵国鑫在《通俗麻将技巧》第一章第六节把这套东西叫「统计推理」——由样本具有某种属性推出总体具有某种属性，用量化方式研究随机现象的规律性。这一节和前面五节的写法完全不同：前面靠牌例，这一节直接摆数据，1000 局实战记录，一张 21 行的巡目频次表，一张余牌张数分布图。下面把这张表重新加一遍，把书里给的结论全部复算，再讲清楚它在牌桌上怎么落到「这张该不该打」。
一、统计推理是什么：一句话加一个前提
书里的定义很干脆：从数量方面研究随机现象的规律性，掌握运用概率与数理统计方法去分析和解决实际问题。翻成牌桌语言就是两句：
- 牌局是随机的，但大量牌局不是。单看一局，谁和牌毫无规律；看一千局，和牌的巡目、方式会稳定成一条曲线。
- 你只能拿样本估总体，所以结论永远带误差。样本不是总体，误差有多大，取决于样本量和抽样方式。
这两句话合起来，就是统计推理的全部边界：它能告诉你「第 8 巡前后是全场最危险的时候」，但它不能告诉你「下一张你打出去会被对家和」。前者是概率，后者是事实。把概率当事实用，是这类方法最常见的死法。
书里也很诚实地交代了这节的局限——「由于篇幅有限，在此仅讲一例」，希望读者借此学会方法，自己去统计更细的问题：最先报听的一家能和牌的概率是多少、听牌牌型里求和风牌的概率是多少。这些问题没有标准答案，只能靠自己的实战数据去攒。
二、这份样本长什么样：1000 局的来历与边界
先把样本交代清楚，否则后面的数字没有意义：
| 项目 | 数值 |
|---|---|
| 样本数量 | 1000 局 |
| 采样场所 | 中游「金币麻将」一万木力服务器 |
| 采样时间 | 2004.2.25 – 2004.2.29（五天） |
| 采样人 | 秦汉戈 |
| 统计口径 | 以原始实战数据为依据，对和牌速度、番种分布、和牌方式作统计分析 |
要注意三个边界，书里没强调，但对读者很关键。第一，五天、一个平台、一个服务器，玩家水平集中在同一个池子里，打法和现在的地方麻将差别很大；第二，1000 局是把四家的和牌合并计数，也就是每一局只有一个人和牌，1000 局对应 1000 次和牌、1000 个赢家；第三，「巡」是按四家各摸一张算一巡，所以「第 8 巡」指的是全场第 8 圈摸牌，不是某一个人的第 8 次摸牌。这三条不搞清楚，后面的百分比会被读成完全不同的东西。
三、和牌巡目分布：把那张表重新加一遍
书里的频次表列了 21 巡，我把它完整重列，并补上自己算的两列——累计占比与「进入该巡的局数」（后者下一节要用）：
| 巡目 | 该巡和牌（局） | 占比 | 累计占比 | 进入该巡的局数 | 该巡条件概率 |
|---|---|---|---|---|---|
| 第 1 巡 | 0 | 0% | 0% | 1000 | 0% |
| 第 2 巡 | 0 | 0% | 0% | 1000 | 0% |
| 第 3 巡 | 7 | 0.7% | 0.7% | 1000 | 0.7% |
| 第 4 巡 | 22 | 2.2% | 2.9% | 993 | 2.2% |
| 第 5 巡 | 52 | 5.2% | 8.1% | 971 | 5.4% |
| 第 6 巡 | 90 | 9.0% | 17.1% | 919 | 9.8% |
| 第 7 巡 | 99 | 9.9% | 27.0% | 829 | 11.9% |
| 第 8 巡 | 137 | 13.7% | 40.7% | 730 | 18.8% |
| 第 9 巡 | 132 | 13.2% | 53.9% | 593 | 22.3% |
| 第 10 巡 | 103 | 10.3% | 64.2% | 461 | 22.3% |
| 第 11 巡 | 102 | 10.2% | 74.4% | 358 | 28.5% |
| 第 12 巡 | 71 | 7.1% | 81.5% | 256 | 27.7% |
| 第 13 巡 | 66 | 6.6% | 88.1% | 185 | 35.7% |
| 第 14 巡 | 30 | 3.0% | 91.1% | 119 | 25.2% |
| 第 15 巡 | 31 | 3.1% | 94.2% | 89 | 34.8% |
| 第 16 巡 | 31 | 3.1% | 97.3% | 58 | 53.4% |
| 第 17 巡 | 7 | 0.7% | 98.0% | 27 | 25.9% |
| 第 18 巡 | 8 | 0.8% | 98.8% | 20 | 40.0% |
| 第 19 巡 | 7 | 0.7% | 99.5% | 12 | 58.3% |
| 第 20 巡 | 1 | 0.1% | 99.6% | 5 | 20.0% |
| 第 21 巡 | 4 | 0.4% | 100% | 4 | 100% |
| 合计 | 1000 | 100% | — | — | — |
先做一次总校验：7+22+52+90+99+137+132+103+102+71+66+30+31+31+7+8+7+1+4 = 1000。次数加得回 1000，说明这张表没有漏行、没有重行，后面的所有推算都可以放心用。
再算三个描述统计量，书里只给了「中点」：
- 众数是第 8 巡（137 局，13.7%），曲线最高点。
- 中位数是第 9 巡：累计到第 8 巡是 407 局，到第 9 巡是 539 局，第 500 局落在第 9 巡里。
- 平均和牌巡目是 9.63 巡。算式是各巡乘次数再求和除以 1000：21+88+260+540+693+1096+1188+1030+1122+852+858+420+465+496+119+144+133+20+84 = 9629，9629 ÷ 1000 = 9.63。
书里说的「中点」和这三个不是一个东西。它指的是和牌曲线的横轴中点：横轴画的是「余牌张数」，牌墙起手 84 张（136 减四家起手 52 张），每巡消耗 4 张，第 10 巡时余 84 − 4×9 = 48 张，书里算出的曲线中点正好是余 48 张、即第 10 巡。这个换算很值得记住——它把「巡目」和「还剩几张牌」两个坐标系打通了，第 8 巡余 56 张，第 13 巡余 36 张，你只要看一眼牌墙厚度，就知道自己在曲线的哪个位置。
四、危险区间：7 到 13 巡，占七成
书里据此划出一条线：和牌的重点区间是第 7 至第 13 巡，共 710 局，占总局数的七成，牌局最危险的时段是第 7–13 巡。这个 710 我又加了一遍：99+137+132+103+102+71+66 = 710，占 71%，确认无误。
把 21 巡切成三段，分布的形状更清楚：
| 阶段 | 巡目 | 和牌局数 | 占比 | 每巡平均 | 相对中段 |
|---|---|---|---|---|---|
| 前段 | 1–6 巡 | 171 | 17.1% | 28.5 局 | 0.28 倍 |
| 中段（危险区） | 7–13 巡 | 710 | 71.0% | 101.4 局 | 1.00 倍 |
| 后段 | 14–21 巡 | 119 | 11.9% | 14.9 局 | 0.15 倍 |
中段七巡扛了七成的和牌，每巡密度是前段的 3.6 倍、后段的 6.8 倍。这条结论直接改写了两件事的做法：
- 前六巡不必保守。17.1% 的和牌发生在这里，且大多来自天听、极端好牌。你为了防一个 17% 时段的炮，把牌型拆散，是拿确定的机会去换小概率的保险。
- 中段必须收紧。第 7 巡开始，每一次舍牌都要过一遍「这张有没有人听」。此时全场四家都可能已报听或一入听，一个生张的代价远大于前段。
书里配的那张图还有一句观察：和牌曲线、吃和曲线、自摸曲线「呈现出极为相似的分布特征」，虽然不能说就是正态分布，但至少形态很接近。这句话的意义在于——不管你是靠吃牌听上的，还是靠自摸成的，成牌的时间点都集中在同一个区间。也就是说，防守的时间窗是全场共享的，不因打法不同而偏移。
五、条件概率：真正最险的是第 13 巡，不是第 8 巡
上面那张表有一个陷阱：第 13 巡只有 66 局，比第 8 巡的 137 局少一半，看起来第 13 巡没那么危险。错。频次的分母是 1000 局，但能活到第 13 巡的局只有 185 局——前面已经有 815 局和掉了。真正的问法是：已经打到第 n 巡的局里，有多大比例在这一巡和牌？
这就是表里最后一列「该巡条件概率」的来历，算式是 该巡局数 ÷ 进入该巡的局数。以第 8 巡为例：进入第 8 巡的局数 = 1000 − 累计到第 7 巡的 270 = 730，137 ÷ 730 = 18.8%。同理第 13 巡是 66 ÷ 185 = 35.7%，第 9、10 巡都是 22.3%，第 11 巡 28.5%。
换到条件概率的坐标系，曲线的形状完全变了：从第 7 巡的 11.9% 一路爬到第 13 巡的 35.7%，越往后越危险，直到牌墙见底。这不是矛盾，而是同一批数据的两个视角：按总局数算，和牌集中在中段；按「还活着的局」算，风险单调上升。牌桌上的你永远处在后者的视角里——你没和掉，所以你只能关心「在我们这 185 局里，这一巡有多大概率结束」。
还有一层要除：条件概率统计的是「四家中任何一家和牌」。要换成「这一巡你和牌的概率」，粗算除以 4：第 8 巡约 4.7%，第 13 巡约 8.9%。这个数量级正好对上直觉——中段每一巡，四个人的总威胁接近两成到三成半，摊到自己身上是个位数百分比。它不是「必然挨炮」，而是「十巡里大概会撞上一次」。
尾部的数字要打折看。第 16 巡 53.4%、第 19 巡 58.3% 看着吓人，但分母只有 58 局、12 局，样本太小，一次和牌就能让百分比跳十几个点。用小样本比例下结论，是统计推理最典型的翻车方式，下一节专门算这个误差。
六、和牌方式：自摸 35.2%，收炮 64.8%
同一份样本还统计了和牌方式：
| 方式 | 次数 | 比例 | 95% 置信区间（本站复算） |
|---|---|---|---|
| 自摸 | 352 | 35.2% | 32.2% – 38.2% |
| 收炮（吃和别人的舍牌） | 648 | 64.8% | 61.8% – 67.8% |
| 合计 | 1000 | 100% | — |
置信区间是我加的，算式用的是比例的标准误：SE = √(p(1−p)/n)。自摸 p = 0.352、n = 1000，SE = √(0.352×0.648÷1000) = √0.000228 = 0.0151，即 ±1.5 个百分点；95% 区间取 ±1.96 个标准误，得 35.2% ± 3.0%，就是上面那行。收炮同理：SE = √(0.648×0.352÷1000) = 0.0151，区间 64.8% ± 3.0%。
这组数字最实用的推论是：收炮是自摸的 1.84 倍（648 ÷ 352）。换句话说，1000 局里有 648 局是「有人打出来被别人和掉」结束的。这条直接决定防守的性价比——你舍出的每一张生张，都在参与那 64.8%。反过来说，只靠自摸的期望值打法，等于主动放弃了近三分之二的得分机会，这在允许收炮的规则里是明显亏的。
顺带说清楚样本量的作用。如果这份样本只有 120 局，自摸比例的标准误是 √(0.352×0.648÷120) = 0.0436，即 ±4.4 个百分点，比 1000 局时大 2.9 倍（√(1000÷120) = 2.89）。这就是大数定律在实操里的样子：误差按样本量的平方根缩小，想精度翻倍，样本要翻四倍。自己记牌局统计的人，记 30 局得出的比例基本不能看，记 300 局才有量级意义。
七、怎么用：牌河估剩余张数的四步法
书里这节的标题是「统计推理」，落到牌桌上最常做的一件事却是数牌——用已经露出来的牌，估还没露出来的牌。这不玄，四步就能做完：
- 数未知总数 U。U = 136 − 自己手牌 − 牌河张数 − 明牌张数（吃碰杠亮出来的都算已知）。
- 数有效张 k。你等的每一种牌，按 4 张上限减去已见张数，再相加。见了几张就在牌河、明牌、自己手里数几张。
- 算单巡概率。p = k ÷ U。这是「下一张摸到的牌正好是有效张」的近似概率。
- 算剩余摸牌次数 N。N ≈ 牌墙剩余张数 ÷ 4（四家轮摸，一人一巡摸一张），再用 1 − (1 − p)^N 算「至少摸到一张」的概率。
拿一局中盘做复算。假设：自己手牌 13 张，四家牌河共 24 张（每家 6 张），没有明牌，那么 U = 136 − 13 − 24 = 99 张，其中三家手牌 39 张、牌墙 60 张，你还能摸 60 ÷ 4 = 15 次。把不同有效张数代进去：
| 有效张 k | 单巡概率 p = k/99 | 15 巡至少摸到一张 | 盘面含义 |
|---|---|---|---|
| 3 张（单钓，剩余全活） | 3.0% | 37.0% | 偏薄，得靠别人打出来 |
| 6 张（两面搭子 + 一对） | 6.1% | 60.9% | 常态，一半以上机会 |
| 9 张（两面听，各剩 3 张 + 单钓 3） | 9.1% | 76.1% | 好形，四分之三能自摸到 |
| 12 张（三面听） | 12.1% | 85.6% | 很宽，值得为它拆搭子 |
| 15 张（四面以上） | 15.2% | 91.5% | 接近必成，只剩放炮风险 |
算式以 k = 9 为例：p = 9/99 = 0.0909，1 − (1 − 0.0909)^15 = 1 − 0.9091^15 = 1 − 0.239 = 76.1%。其余各行同法，读者可以拿自己牌局的 U 和 N 直接替换重算。
再补一个「牌河变厚之后」的对照：同样是 9 张有效张，如果牌河已经到 36 张（每家 9 张），U = 136 − 13 − 36 = 87，牌墙只剩 87 − 39 = 48 张（这里按三家各 13 张手牌估），你能摸 12 次，1 − (1 − 9/87)^12 = 1 − 0.8966^12 = 1 − 0.271 = 72.9%。牌河厚了 12 张，概率只掉 3 个点——因为有效张的绝对数没变，而分母缩小的同时也缩了摸牌次数，两者大致抵消。这说明「晚期听牌吃亏」主要不是因为摸不到，而是因为别人先和了。这正是第五节那条单调上升的条件概率曲线在说话。
八、为什么有效，以及什么时候失效
有效性来自三处，失效也来自三处，一一对应：
| 为什么有效 | 什么时候失效 |
|---|---|
| 大数定律：样本够大，频率逼近概率。1000 局的巡目分布已经稳定成单峰曲线 | 样本太小。尾巡分母只剩十几局，百分比随一局跳动，不能当规律用 |
| 每张牌只有 4 张，计数是硬约束，不依赖任何猜测 | 规则不同。136 张、四家、无花牌是这套数字的前提；换 144 张带花、三人麻将，全部要重算 |
| 四家共享同一副牌墙，摸牌次数可以精确算 | 忽略对手行为。别人扣牌、捏牌会让你等的牌留在手里不出，实际概率低于纯随机模型 |
还有一条最容易被忘掉的：这张表是「四家合并」的统计，不是「你」的统计。四家水平一致时，除以 4 是合理近似；但牌桌上总有强有弱，强家报听早、和牌多，他的实际分布会比这条曲线整体左移。所以「第 8 巡最危险」这句话，对一桌四个高手是低估，对一桌三个新手是低估得更厉害——因为新手不会在你危险的时候收手。
书里那张图还标了「经过 5 次平滑处理」。平滑是为了让曲线好看，代价是把尖峰磨圆。原始频次里第 8 巡 137、第 9 巡 132 只差 5 局，平滑之后几乎分不出高下。这也提醒一件事：相邻两巡的差异通常在误差范围内，别拿一两个百分点的差去支撑战术决定。真正稳的信号是「中段七巡占七成」这种量级差，不是「第 8 巡比第 9 巡高 0.5 个点」。
九、常见误区
- 把频次当风险。第 8 巡 137 局看着最多，但条件是「所有局」；打到第 13 巡时只剩 185 局在场上，那 66 局的风险浓度是 35.7%，是第 8 巡的近两倍。分母不换，结论全反。
- 拿别人的样本套自己的牌局。2004 年、一个平台、五天、特定规则，这些前提变了，比例就得重测。可以用它认识曲线的形状，不能拿它当自己牌局的赔率表。
- 小样本百分比。第 21 巡 4 局 100% 和牌，等于说「打到第 21 巡必和」——它只是 4 局全都和了而已。分母低于 30 的比例，只能当趣闻。
- 数牌只数牌河。自己手里的、吃碰亮出来的、杠出来的都算已见。漏数自己手里那一张，有效张就会多算一张，单巡概率直接高估 10% 以上。
- 算一次就不更新。U 每巡减 4（四家各摸一张），k 每出现一张有效张就减 1。中盘一算到终局都用同一个数，是最常见的错。
- 把「至少摸到一张」当「必定和牌」。摸到有效张只是进张，还要看能不能成搭、能不能听上、听上之后有没有人先和。76% 是进张概率，不是和牌概率，实际和牌率要再乘一个远小于 1 的系数。
- 用统计替代读牌。统计告诉你「这个时段危险」，读牌告诉你「这家听了什么」。前者给时机，后者给对象，缺一个都做不出正确决定。
十、FAQ
1000 局够不够？
对「和牌集中在哪几巡」这种量级问题够了：71% 与 17% 相差四倍，远大于抽样误差。对「第 8 巡 13.7% 还是第 9 巡 13.2%」这种细节不够——两者只差 5 局，落在噪声里。判断标准很简单：结论的差距是否大于几个百分点。
为什么中位数是第 9 巡，书里却说第 10 巡？
因为两个「中点」不是一回事。中位数按局数算，第 500 局落在第 9 巡；书里的中点按横轴的余牌张数算，余 48 张对应第 10 巡（84 − 4×9 = 48）。讨论危险时段用中位数更准，讨论牌墙厚度用余牌张数更直观。
自己牌局要不要也统计？
值得，但门槛是 300 局起。做法很简单：每局记三样——和牌巡目、和牌方式（自摸/收炮）、谁和。三百局之后你会得到自己的曲线，它的价值高于任何书上抄来的表，因为规则、对手、平台都对得上。
牌河估张为什么用「未知总数」而不是「牌墙张数」做分母？
因为你看不见的牌包括三家手牌和牌墙，有效张可能落在任何一处。用 U 做分母算的是「下一张未知牌是有效张」的概率，摸牌时牌从牌墙出，但哪几张在墙里你并不知道，所以用 U 更稳。若想更精确，可以把三家手牌按已知舍牌做权重修正，但收益远小于把 U 数准。
条件概率那一列能不能直接当放炮概率？
不能。它是「这一巡四家中任何一家和牌」的概率，包含自摸。要估放炮风险，还得看这家的听牌状态、你和他的牌型关系、以及他可能的听口张数。它给的是时段权重，不是单张判决。
打线上和打线下，这套数字一样吗？
量级接近，细节不同。线上洗牌快、局数多，样本收敛得快；线下有洗牌手法、有码牌习惯，开局分布可能被扭曲。但「中段和牌最多、越往后条件概率越高」这个形状，只要规则相近就站得住。
十一、出处与说明
内容依据：赵国鑫《通俗麻将技巧》第一章「六、统计推理」（约原书第 31–34 页），包括统计推理的定义与用途、1000 局样本的采样信息、和牌频次—余牌张数分布图、21 巡和牌频次表、7–13 巡危险区间结论、和牌方式（自摸 352 / 收炮 648）统计。本文为原创重写，不复刻原文表述。
书中原始数据为和牌次数与百分比；本文新增的「进入该巡的局数」「该巡条件概率」「三段对比」「平均巡目 9.63」「95% 置信区间」均由该表复算得出，算式已写在正文，可逐项核对。第七节的概率表是本站自设模型（U = 99、N = 15），不是原书数据，作用是给读者一个可代入的模板。相关阅读：猜牌的逻辑思维：推理、演绎、归纳、类比、技术的局限性：什么时候技术没用、麻将常用术语简释。
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