原书 p63 讲「卡牌」，p64 讲「缺牌」——两节紧贴在一起，各占不到一页。乍看是两件不相干的事：前者说「听一张嵌在中间的牌」，后者说「少做一门花色」。但把两节并读会发现它们回答的是同一个问题：当你手上可用牌的数量被压缩时，进张到底怎么变。卡牌是横向压缩——只等一张；缺一门是纵向压缩——只做两门。
这一篇把两节合成一条计算链：先把卡牌的七种嵌张全部枚举，再用超几何分布算清「卡张到底剩几张」；接着把缺一门还原成牌池重算，给出缺一门真正的代价在哪里、不在哪里。原书给结论不给算式的地方，我补算式并标明是我的推演，不是原文。
卡牌：一个定义、七种形状
原书的定义很紧：「卡牌指打『单嵌』，亦称『中空』，是指在一铺手牌中，除组好三副牌和一对将外，并有一副嵌搭，所要叫和的那张牌正好是 2～8 的某一张牌，且是单张。」
拆开这句话有三个硬条件：三副已定型、一对将已定型、剩下那副只差中间一张。三个条件同时成立才叫卡牌，缺一条都不是。原书举的例子是「2 筒作将，7、9 万听卡 8 万」，并特意给了一个反例：「2 筒作将，听牌搭子是 6、7 万，听 5、8 万」——两头听不算卡牌，因为叫的是两张。
| 手里那副嵌搭 | 所叫的牌 | 成形后的顺子 | 嵌张在牌池里的张数 |
|---|---|---|---|
| 1、3 | 2 | 123 | 4 |
| 2、4 | 3 | 234 | 4 |
| 3、5 | 4 | 345 | 4 |
| 4、6 | 5 | 456 | 4 |
| 5、7 | 6 | 567 | 4 |
| 6、8 | 7 | 678 | 4 |
| 7、9 | 8 | 789 | 4 |
七种，一种不多。原书那句「卡牌除去 1、9 不能卡外，其余 2、3、4、5、6、7、8 均可卡和」说的就是这张表——1 和 9 不能当嵌张，因为没有 0 和 10。这是纯几何限制，与规则、番种、地方习惯都无关。
为什么只有七种：点数 n 参与几次顺子
把「能卡几张」换成组合语言会更清楚。一个点数 n 能出现在多少个顺子里？顺子只有 123、234、345、456、567、678、789 七种，所以：
| 点数 n | 参与的顺子 | 次数 c(n) | 能不能当嵌张 |
|---|---|---|---|
| 1 | 123 | 1 | 不能（无 0） |
| 2 | 123、234 | 2 | 能 |
| 3、4、5、6、7 | 三种（如 5＝345／456／567） | 3 | 能 |
| 8 | 678、789 | 2 | 能 |
| 9 | 789 | 1 | 不能（无 10） |
这张 c(n) 表是后面所有推论的底座。它说明一件事：中张 3～7 比边张 2、8 多一种被使用的可能，比 1、9 多两种。对手留牌不是随机的，他留的正是「有用的牌」——一个点数能参与的面子越多，越容易被留在别人手里。这个方向性判断，比「中张危险、边张安全」这句口诀更可操作，因为它能给出倍数。
复算：卡张从来不是「四张」
原书写「卡牌因为是单嵌一张」，容易被读成「卡张必有四张」。这句话只在开局、且这张牌一张未现时成立。真实的剩余张数是：
剩余 = 4 − 自己手里同点数的张数 − 牌河已见张数 − 各家副露里已见张数
嵌张不可能在自己手里（否则嵌搭就不成立了），所以简化为 4 减「已现」。设未知牌 W＝60 张（墙加对手暗手，中局常见量级），命中概率按超几何算，不用独立近似的 1−(1−p)ⁿ：
| 已见张数 | 剩余 n | 3 巡内 | 6 巡内 | 9 巡内 |
|---|---|---|---|---|
| 0 张 | 4 | 19.0% | 35.1% | 48.8% |
| 1 张 | 3 | 14.3% | 26.5% | 37.0% |
| 2 张 | 2 | 9.7% | 18.4% | 28.0% |
| 3 张 | 1 | 4.9% | 9.6% | 14.0% |
读法：卡张的每一张「已见」都在砍掉约三分之一的和牌机会（4→3 张，九巡从 48.8% 掉到 37.0%）。而两头听（8 张）在同样条件下九巡是 76% 量级。所以原书那句「考虑到单卡有时很难成和，故而在打牌前规定，和两头只能算低番或无番」是有算理支撑的——卡张不是「番高的稀有牌型」，是用一半的和牌概率换番。这个交换在规则书里被写成了番值差，本质是概率差。
卡 2 与卡 8：原书的结论与我的读法
原书有一句很重的话：「卡牌因为是单嵌一张，所以卡数越大，番数越高，且卡 2 和卡 8 大相径庭。」它给了结论，没给推导。按上面的 c(n) 表复算，卡 2 与卡 8 的嵌张参与顺子数完全相同（都是 2），几何上应当等价——所以番表把卡 2 排得比卡 8 低，依据不是牌型几何，而是牌河统计与规则设计者的经验口径。这一点我明确标为推演：原书没说依据，任何「卡 8 比卡 2 难一倍」的说法都不该当成定理。
但几何上确实存在一处不对称，值得记下来：卡 2 的嵌搭是 1、3，其中 1 的 c(1)＝1；卡 8 的嵌搭是 7、9，其中 9 的 c(9)＝1。看起来对称。真正的差别在你放弃卡张改听时的退路上：手里 1、3 摸到 4，可以打成 3、4 听 2、5（1 变孤张）；手里 7、9 摸到 6，可以打成 6、7 听 5、8（9 变孤张）。两条退路同样宽。也就是说，卡 2 与卡 8 在结构上是镜像，价值差全部来自番表，不来自牌理。如果你打的规则里两者番值不同，照规则打；如果相同，别自造难度差。
改听三禁：p64 的三条与原书的理由
原书在卡 5 条的例子上给了三条禁止，写得很具体，我逐条抄下来并补上算式。前提是「上铺牌局听卡 5 条」：
| 局面 | 原书判断 | 为什么不能改 |
|---|---|---|
| 有人打出东风 | 不可碰掉改听 1、4 条 | 碰需要打出一张牌，手牌从「已定型四放一将」退回「三放一将＋一搭」，结构被打断；且碰掉东风后你并没有多出和牌张，只是把 4 张换成至多 8 张，还要减已见 |
| 上家打出 3 条 | 不可伸吃改听 2、5 条 | 吃 3 条要拆掉嵌搭的一侧，吃进的 3 条本身不是你要的牌，等于用一次摸牌机会换一次结构降级 |
| 自己摸上 3 条或 7 条 | 断然开出，不可改听 2、5 或 5、8 | 摸到 3 或 7 只是「多了一张可用牌」，不是「多了一个和牌口」；此时改听会把单嵌番让出去 |
第三条最容易被误解。摸到 3 条后手里是 3、5 条，改成 3、4？不——原书的意思是：摸进的 3 条应该打出去，保持卡 5 不变。因为改听要打掉原有的一张，等于把已经成型的四放一将重新排列，而卡张番随之消失。这里有个可以算的判据：
改听划算 ⟺ 改后剩余张数 × 单张番值 > 改前剩余张数 × 卡张番值 ＋ 打牌损失
举例：卡 5 剩 4 张、卡张番按 2 倍底分；改听 2、5 共 8 张、平番按 1 倍。左边 8×1＝8，右边 4×2＝8，正好打平。这就解释了原书为什么用「断然」这种强词——不是改听一定亏，而是在番值差一倍时，改听只打平，却额外承担了打牌的失误风险。风险中性的算法是「不换」。
缺牌：定义只有一句，边界要说清
原书：「『缺』指缺一门。在一铺牌中，三种花色牌有其两种，缺其一种，即称『缺』。如有万、筒缺条，有条、筒缺万，有万、条缺筒等。与字牌东、南、西、北、中、发、白无任何联系，无字即可，有字亦可，不影响『缺』。」
关键在最后半句：缺牌只数三门序数牌的花色，字牌不参与计数。手上有七个字牌也照样可以「缺一门」。这条边界常被记错，有人以为「有字就不算缺」，于是把能做混一色的牌拆了。
缺牌在多数规则里是和牌的前置条件而不是番种（四川血战、部分推倒和玩法要求缺一门才能和）。所以它不是「可选的加分项」，是「不做就不能和」的门槛。这一点决定了后面的所有计算：缺一门不是优化，是约束。
牌池重算：136 → 100
把牌池摊开算。全副 136 张：万、筒、条各 36 张，字牌 28 张。缺一门后，你能用来做牌的只有两门序数牌加全部字牌：
| 项目 | 不缺门 | 缺一门 | 变化 |
|---|---|---|---|
| 可用序数牌 | 108 张（三门） | 72 张（两门） | −33.3% |
| 字牌 | 28 张 | 28 张 | 不变 |
| 可用池合计 | 136 张 | 100 张 | −26.5% |
| 字牌占可用池 | 20.6% | 28.0% | ＋36% |
| 每门顺子模板 | 7 种 × 3 门＝21 | 7 种 × 2 门＝14 | −33.3% |
| 卡张形态（嵌搭） | 7 × 3＝21 | 14 | −33.3% |
第三行是我要强调的结论：缺一门让字牌的相对权重从 20.6% 升到 28.0%，涨了 36%。原因是分母从 136 缩到 100，而字牌一张没少。这在实战里的意思是：缺一门时，字牌对子、字牌刻子的性价比上升，留字比留边张更值。原书没算这一步，但从它「与字牌无任何联系」的界定可以直接推出这个权重变化。
最后两行是同一件事的两种说法：缺一门砍掉整整一门，所以所有依赖「同门连续」的结构都少三分之一。卡张从 21 种形态掉到 14 种——如果你缺的那门恰好是你原本要卡的那门，卡牌这条路直接封死，不是变难，是不存在。
缺一门真正的代价：不是单巡概率，是有效巡数
这里有个几乎所有人都会算错的地方。很多人这样想：缺一门后墙里还有约 26.5% 是该门的废牌，所以进张率要打七四折。这个算法是错的。
原因：命中概率的分母本来就是「全部未知牌」，其中包括废牌。公式 p＝n／W 已经把废牌算进分母了，再乘 0.735 就是重复扣减。缺一门不改变「你听的那张牌在未知牌中的占比」——它改变的是别的东西：巡数。
把一局拆成「摸牌次数」。四家都缺同一门时，每巡 4 张摸牌里期望有 4×36/136≈1.06 张是废牌，被摸到就直接打进牌河。这些「空转」的摸牌不产生任何牌型推进：
有效巡数 ≈ 总巡数 × (1 − 36/136) = 总巡数 × 0.735
| 总巡数 | 有效巡数（四家同缺一门） | 少了多少巡 | 卡 4 张九巡口径的命中 |
|---|---|---|---|
| 8 巡 | 5.9 巡 | 2.1 巡 | ≈34%（原 48.8% 口径折算） |
| 12 巡 | 8.8 巡 | 3.2 巡 | ≈47% |
| 16 巡 | 11.8 巡 | 4.2 巡 | ≈60% |
这解释了缺一门玩法里一个真实的体感：牌局变「快」，但你什么都没摸到。牌墙照常缩短，你的手牌却没进展。所以缺一门的第一战术不是「快点听」，是把有限的 0.735 倍有效巡数花在成型率最高的结构上——也就是减少嵌搭、优先宽听。这和前面卡牌的结论正好对上：缺一门时最不该做的就是卡张。
起手缺一门的概率：1.47%
再补一个起手分布的数字，用来判断「自然缺门」有多罕见。13 张起手牌里完全没有某一门花色的概率：
P(13 张全避开某门 36 张) = C(100,13) / C(136,13) ≈ 1.47%
至少有一张该门牌的概率 98.53%，14 张时自然缺门降到 1.04%。换句话说：「起手就缺一门」是百里挑一的事件，绝大多数所谓「缺一门」都是主动打掉该门打出来的。这就把缺门的成本讲清楚了——你要花张数去打，而打出去的每一张都是本可以用的牌。
平均要打几张？起手 13 张里该门的期望张数是 36×13/136≈3.44 张。所以标准剧本是：花 3～4 张打光一门，剩下的 9～10 张里再凑四放一将。这 3～4 张就是缺一门的明码标价。它同时意味着：缺一门的手牌，起手质量天然比不缺门的差 3 张左右——这是规则强加的成本，不是运气。
交叉：缺一门之后，卡牌还剩什么
两节合起来看，有一个直接推论：缺一门把卡张的可选形态从 21 种砍到 14 种，其中「卡在被缺那一门」的 7 种直接归零。剩下 14 种里，还要过 c(n) 那一关：卡 3～7 嵌的是中张（对手更愿意留），卡 2、卡 8 嵌的是边邻（对手更愿意打）。所以在缺一门玩法里，卡张的优先顺序应该是：
| 优先级 | 形态 | 理由 |
|---|---|---|
| 1 | 卡 2、卡 8（两门内共 4 种） | 嵌张 c(n)＝2，对手留存动机最低；且都是贴边嵌搭，改良退路宽 |
| 2 | 卡 3、卡 7 | c(n)＝3，但贴近边张，尚有部分早期弃牌 |
| 3 | 卡 4、卡 5、卡 6 | c(n)＝3 且正中间，最容易被扣；只有在牌河已见两张以上时才考虑 |
| 禁止 | 任何跨缺门的嵌搭 | 缺的那门一张都不会进你的手，这条搭子永远不成 |
顺带一个常被忽略的判据：缺一门时，「两头听」的价值比不缺门时更高。因为两头听在缺门玩法里往往落在同一门内（如 3、4 听 2、5），而单门内的牌你全都能用；相比之下，卡张只剩一个口，且这个口要跟对手的留存动机抢。原书的「和两头只能算低番或无番」在缺门玩法里要反着读：低番的宽听，在有效巡数只有 0.735 倍的局里，比高番的窄听更容易兑现。
实战判据：五条，按顺序问
- 这副嵌搭的嵌张，牌河里见了几张？见 2 张以上，卡张的九巡命中已掉到 28% 以下，该拆就拆。
- 嵌的是 2 或 8，还是 5？前者 c(n)＝2，后者 c(n)＝3；同一副手牌里若有两个嵌搭可选，留靠边的那个。
- 这一门是不是我缺的那门？是就直接放弃，别算概率——分母是零。
- 我还能摸几巡？缺一门局按 0.735 折算；折算后不足 6 巡，就不该留任何单嵌。
- 改听要打出哪张？那张牌是不是本来在成型结构里？是的话，改听的隐性成本大于张数收益，原书的三条禁令就是这条的实例。
常见误区
- 以为卡张必有四张。四张是上限，见一张剩三张、见两张剩两张。九巡命中从 48.8% 掉到 28.0%，不是小差别。
- 以为「卡数越大番越高」说明了难度。番表是规则设计者的经验口径，不是概率结论。卡 2 与卡 8 的 c(n) 相同，几何上等价；番值不同就照规则打，别自造难度差。
- 把 1、9 当嵌张。1 和 9 只能做边张或对子，不能做嵌张——没有 0 和 10。所谓「卡 1」「卡 9」在定义上不存在。
- 缺一门后把进张率再乘 0.735。这是重复扣减。p＝n／W 的分母已含废牌；缺一门扣的是巡数，不是单巡概率。
- 以为有字牌就不算缺一门。原书写得很清楚：缺只数三门花色，与字牌无任何联系。有字、无字都可能是缺一门。
- 以为起手常缺一门。13 张自然缺某门的概率只有 1.47%。真正常见的是主动打掉，代价是 3～4 张牌。
- 缺一门时先追高番。有效巡数只有 0.735 倍，高番窄听兑现不了。缺门局的第一优先级是宽听。
- 改听只看张数不看结构。8 张平番对 4 张双倍番是打平，不是赚。原书用「断然」「不可」这些词，说的是风险，不是概率。
FAQ
「单嵌」和「中空」是同一个东西吗？
是。原书开篇就写「卡牌指打『单嵌』，亦称『中空』」，两个词指同一种听牌形态：一副搭子只差中间一张，且只叫这一张。
为什么听 5、8 万不算卡牌？
因为叫了两张。卡牌的定义要求「单张」——只有一张牌能和。两头的搭子（6、7 听 5、8）是宽听，原书明确把它排除在卡牌之外。
卡张和两头听，张数差多少？
一张未现时 4 对 8，差一倍。但实际要减已见：卡张见两张只剩 2 张，此时两头听若也各见一张，只剩 6 张，差距是三倍而不是两倍。永远按「4 减已见」现算。
缺一门到底要求缺几张牌？
一张都不要求。缺一门是「你手上不出现某门花色」，缺的那门可以是 0 张到 0 张——只要 14 张里没有该门，就是缺。字牌不算花色。
缺一门之后，字牌为什么更值钱？
因为分母变小了。字牌 28 张不变，可用池从 136 掉到 100，占比从 20.6% 升到 28.0%。同样的字牌对子，在缺门局里相对稀缺度提高 36%。
缺一门会让和牌变慢吗？
会让「有效巡数」变少。四家同缺一门时约 26.5% 的摸牌是废牌，12 巡里只有 8.8 巡在推进手牌。牌墙缩短的速度不变，你的进展速度打七四折。
原书这三条改听禁令，今天还适用吗？
结构上适用，番值上要看你打的规则。判据是那条不等式：改后张数 × 平番 与 改前张数 × 卡番 比较。打平就不换——不是不能换，是不值得为打平承担打牌风险。
卡 5 的嵌张只剩一张，还值得等吗？
九巡 14.0%，约七分之一。除非你已经在最后一两巡、且没有更宽的口，否则该拆。这个数字比多数人的直觉低得多。
出处与口径
- 原书第六编「卡牌」节，书内页 63（图 72 后接）：单嵌／中空的定义、2～8 可卡、1 与 9 不可卡、卡数与番值的关系。
- 原书同编 p64（书内页 64，图 73、74）：卡 5 条的三条改听禁令；「缺」的定义与「与字牌无联系」的边界。
- 概率口径：全副 136 张（万筒条各 36、字 28）；卡张与两头的命中率按超几何分布 C(W−n,k)/C(W,k) 计算，W＝60 张未知牌；缺一门有效巡数按 1−36/136＝0.735 折算。
- 番值口径：原书未给具体番表，文中「卡张番」「平番」的 2 倍／1 倍只作算例，不代表任何具体规则。国标、日麻、广东、台湾各套规则对单嵌的处理不同，落桌前先确认你打的这套。
- c(n) 与「卡 2／卡 8 番值差异不来自几何」的判断，是本篇基于七种顺子枚举的推演，原书未作此说明。
最后一句提醒：这一篇的所有百分比都是「未知牌随机、对手不针对性扣牌」下的口径。真实牌桌上对手会扣牌，所以卡中张的实际命中率比表里更低，卡边邻的实际命中率比表里更高——方向是确定的，数值要按牌河重算。