牌型出现概率：九种牌型的精确数字，五张牌与七张牌两种口径

先分清三个分母：发牌序列、五张组合、牌型等级

《德州扑克战术与策略分析》附录 1 用一组「几分之一」把九种牌型的大小顺序量化了：皇家同花顺 1/650000、同花顺 1/72200、四条 1/4200、葫芦 1/700、同花 1/510、顺子 1/250、三条 1/48、两对 1/21、一对 1/2.4、杂牌 1/2。这组数字在日常生活中够用，但它省略了最重要的一句话：分母是什么。

牌桌上同时存在三个完全不同的分母，混用就会算错：

第一，52 张牌的排列数 52!≈8.07×10⁶⁷。这是「发牌顺序」的样本空间，只在讨论洗牌随机性、切牌、发牌机漏洞时才用得上。任何牌型概率都不以它为分母。

第二，五张牌的组合数 C(52,5)=2,598,960。这是附录 1 真正的分母。它不考虑发出的先后顺序，只问「这五张牌是哪五张」。九种牌型的组合数相加必须正好等于 2,598,960，这是检验任何一张概率表的第一道关。

第三，牌型等级 7,462 种。把所有只差花色的五张牌视为同一「等级」（例如 A♠K♠Q♠J♠9♠ 与 A♥K♥Q♥J♥9♥ 同属「A 高同花」），一共 7,462 个等级：其中不含同花的 6,175 个，加同花 1,287 个。它能回答「一共有多少种不同的牌」这类组合数学问题，但它不是概率分母。常见错误是拿 7,462 去除某个数，得到一个既不是概率也不是赔率的怪数字。

6,175 这个数可以自己拆开验证：五张互不相同 1,287 种、一对 2,860 种、两对 858 种、三条 858 种、葫芦 156 种、四条 156 种（四条带任意一张踢脚，13×12）。相加正好 6,175；再加同花的 1,287 种，就是 7,462。

五张牌九种牌型的精确组合数

下表左半部分是附录 1 的原始写法，右半部分是我用 C(52,5) 全枚举（2,598,960 手逐个判定）跑出来的结果。全枚举得到的九项计数与教科书值完全一致，合计正好 2,598,960，可以作为这张表的基准。

「偏差」一列的定义是（书的 1/N − 复算的 1/N）÷ 复算的 1/N，正值表示书里的写法把这件事说得更罕见一点。全部偏差都在 2% 以内。也就是说，附录 1 没有算错，它只是把每个结果四舍五入成了两三位有效数字——这在记忆和口头交流时是优点，在做期望值计算时就必须换成精确值。

十条公式：每个数字是怎么来的

抄表没有意义，能自己推才算掌握。下面每条都能用纸笔验算，注意最后两条最容易错。

• 同花顺（含皇家）= 10 × 4 = 40。顺子骨架 5 高到 A 高共 10 种，每种一个花色。皇家同花顺是其中 A 高的 4 种：4/2,598,960 = 1/649,740。
• 非皇家同花顺 = 40 − 4 = 36。附录 1 的 1/72200 对应的正是这 36 种；如果把皇家并入，应该是 1/64,974。两种口径都能用，但同一张表里不能一半并、一半不并。
• 四条 = 13 × 48 = 624。四种花色里挑那个点数（13），再从余下 48 张里挑一张踢脚。
• 葫芦 = 13 × C(4,3) × 12 × C(4,2) = 13×4×12×6 = 3,744。三条的点数 13 选 1、花色 C(4,3)=4；对子的点数在剩下 12 个里选、花色 C(4,2)=6。

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